SEJARAH MATEMATIKA

LAHIRNYA PENGKHUSUSAN MATEMATIKA

NAMA                                                                                   NPM

1.        Herlina Kristie Siregar                                                           08150043

2.        Novita Inriany Sinaga                                                             09150020

3.        Santy Adelina Siahaan                                                            08150057

4.        Reinhard Pasaribu                                                                  09150060

 

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

Universitas HKBP Nommensen

Pematangsiantar

                                                                             2012   

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. LATAR BELAKANG

Banyak diantara kita hanya menggunakan dan kagum terhadap rumus-rumus matematika yang telah kita pelajari tanpa mengetahui siapa-siapa saja yang menemukan rumus-rumus tersebut. Di dalam pelajaran sejarah matematika kita mempelajari siapa-siapa saja yang berperan dalam perkembangan matematika itu. Sejarah matematika menjadi dasar untuk pembelajaran matematika lebih lanjut sehingga penting untuk menguasai materi sejarah yang berkaitan dengan ilmu matematika. Pada abad 17 sampai dengan abad 20  para ahli membahas tentang pengkhususan matematika, generalisasi matematika atas konsep matematika yang berkembang mencakup cabang matematika lainnya. 

Hingga akhirnya pada abad 20 para ahli menganalisa serta berusaha mengembangkan  matematika secara praktis dan membagi cabang ilmu matematika menjadi  ilmu matematika terapan dan ilmu matematika murni yang sangat berguna bagi perkembangan ilmu matematika pada abad sekarang ini.

Berdasarkan hal itulah penulis berkeinginan untuk menambah wawasan serta pengetahuan mengenai lahirnya pengkhususan matematika tersebut. Selain itu penyusunan makalah ini juga didasari pemberian tugas oleh dosen yang merupakan salah satu dari syarat-syarat untuk memperoleh nilai yang baik.

1.2. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang di atas yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini adalah bagaimana perkembangan serta pengkhususan matematika pada abad ke-17 sampai dengan abad 20?

1.3. BATASAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang dikemukakan di atas, penulis membatasi masalah tentang perkembangan serta pengkhususan matematika pada abad ke-17 sampai dengan abad 20.

1.4. TUJUAN PENULISAN

Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai bahan masukan bagi penulis dan peserta seminar  untuk mengetahui perkembangan serta pengkhususan matematika pada abad ke-17 sampai dengan abad 20.

.

 

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.  MATEMATIKA ABAD 17 DAN ABAD 18

2.1.1. Pengantar

Pada abad 17 ditemukan alat untuk menguraikan kalkulus yakni geometri analitik. Dengan usaha yang teliti dan dasar logika yang kuat tersusunlah analisa yang menggantikan intuisi dan formalisme pada abad sebelumnya dan mempengaruhi penyusunan landasan komponen-komponen matematika yang lain. Usaha tersebut membuat konsep-konsep matematika berkembang kepada cabang-cabang matematika yang lain.

Pada abad 18 para ahli meneliti metoda baru dan kokoh untuk kalkulus. Pada abad 19 ahli –ahli lebih luas lagi membangun landasan logika yang kokoh pada sruktur matematika itu. Pada abad 20 ahli-ahli menyusun generalisasi dari konsep-konsep matematika dan akhirnya cabang-cabang matematika dibagi atas matematika terapan dan matematika murni. Maka lahirlah ahli –ahli khusus (spesialisasi) yang terbaik hanya pada bagian-bagian tertentu saja dari suatu cabang matematika itu.

2.1.2 Ahli – ahli Khusus

1.      Keluarga Bernoulli

Jacob Bernoulli ( 1654 – 1705)

            Jacob dengan saudaranya Johann, ahli pertama yang menggunakan kalkulus sebagai alat untuk menyelesaikan berbagai soal matematika. Pada tahun 1687 – 1705 Jacob menjabat ketua Universitas Basel. Pada tahun 1697, Johan Bernoulli menjadi guru besar di Universitas Groningen. Setelah Jacob meninggal tahun 1705, ia menggantikannya menjadi ketua Universitas Basel. Penemuan Jacob adalah pemakaian koordinat polar untuk menentukan jari – jari kelengkungan datar, menyelidiki sifat-sifat kurva cotangent, kurva datar derajat tinggi dan penemuan kurva isochrone yang diterbitkan dalam majalah Acta Eruditorium tahun 1690 dan memperkenalkan istilah integral dalam kalkulus. Didalam teori peluang, penemuannya disebut distribusi Bernoulli, dalam aljabar dikenal bilangan Bernoulli dan polinomial Bernoulli. Pada tahun 1696, Jacob dan Leibniz mengganti istilah kalkulus summatoris menjadi kalkulus integralis.

Johann Bernoulli (1667-1748).

Ia bersama muridnya de I’hospital menyusun buku teks kalkulus yang pertama. Diperkenalkannya bentuk tak tertentu . Ia menemukan trayektori ortogonal dari berbagai kurva, menguraikan sifat-sifat kurva cycloida.,  menyelidiki kurva brachystochrone dan kurva tautochrone. Johan juga menulis persamaan diferensial dan teori probabilitas.

Johann meninggal karena tenggelam dan ia meninggalkan 3 putra yaitu Nicolaus, Daniel dan Johann II yang juga ahli matematika.

Daniel Bernoulli (1700-1782)

            Pada tahun 1783 Daniel menulis tentang hidrodinamika dan teori kinetis dari gas-gas. Daniel menjadi pelopor dari hitungan diferensial parsial.

Johan II Bernoulli (1710-1790)

            Pendidikan utamanya di bidang hukum, namun ia berbakat dalam matematika dan mempelajari tentang panas dan cahaya yang kemudian menjadi guru besar matematika di Basel.

Johan III Bernoulli (1744-1807)

            Johan III seorang guru besar matematika di akademi Berlin dan menulis tentang astronomi, teori peluang dan persamaan tak tertentu.  

2.      Abraham de Moivre. 

Ia menulis buku dengan judul Miscellanea Analitica berisi deret bolak balik, teori peluang dan trigonometri analitik juga memberikan andil dalam teori anuitas dan matematika asuransi.

rumus terkenal dari de Moivre ialah (cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx, 

          3.     Brook Taylor (1685-1731) 

         Pada tahun 1715, menerbitkan teorema untuk ekspansi suatu fungsi menjadi suatu polinom yang dikenal dengan deret Taylor. Pada tahun 1717, ia menggunakan rumus ekspansi itu untuk penyelesaian persamaan numerik. Karya lain dari Taylor adalah dalam teori perspektif yang menjadi pemakaian matematika foogrametri.

         

         4.      Colin Maclaurin (1698-1746)

Ia dikenal dalam deret pangkat Maclaurin, yaitu ekspansi dari suatu fungsi seperti dilakukan Taylor. Maclaurin meneliti kurva-kurva datar derajat tinggi dan geometri klasik pada soal-soal fisika.

      

        5.      Leonard Euler (1707-1783)

Pada tahun 1727 ia menjabat ketua Akademi St. Petersburg dan tahun 1741 menjabat ketua Akademia Prusia. Euler seorang penulis berjilid-jilid buku matematika dan produktivitasnya menulis tidak berkurang walaupun ia telah buta tahun 1768.

Karyanya teorema binomial yang digunakan secara formal.

Dari karya-karyanya yang banyak dipakai sekarang penulisan secara konvensional dari notasi-notasi berikut:

i)        Notasi untuk fungsi

ii)      Notasi  sebagai basis logaritma naturalis

iii)    Notasi  untuk sisi

iv)    Notasi  untuk menjumlah

Karya lainnya menentukan akar persamaan pangkat empat, di teori bilangan dijumpai teorema Euler, di teori fungsi dikenal fungsi phi, fungsi beta, fungsi gamma dari Euler.

Dalam persamaan diferensial ia memberikan faktor integral dan hasil penyelidikannya memberikan kurva-kurva bulat seperti lingkaran, kurva lonjong konveks yang luasnya tetap yang disebut orbiform dan karya tulisnya mengenai teori tentang bulan, hidrolika, masalah alat-alat angkasa, membuat kapal, artileri, dan teori musik.

          6.      Claude Alexis Clairaut (1713-1765)

Pada usia 11 tahun ia sudah menulis tentang kurva derajat tiga. Tulisannya yang utama adalah kurva bergulung (twisted curve)  suatu kurva ruang yang menjadi awal dari geometri diferensial. Tahun 1731 ia duduk di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis.

Ia menerbitkan karyanya Theorie De La Figure De La Terre pada tahun 1743 dan Theori de la lune pada tahun 1752 yang memenangkan hadiah dari akademi St Petersburg tentang teori berisi gerakan bulan.  Pada tahun 1759, ia menghitung kembalinya komet Hayley mendekati bumi. Namur ia salah satu bulan.

          7.      Jean-le rond d’alembert (1717-1783)

Tahun 1741, dia duduk di dalam Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis pada usia 24 tahun. Tahun 1743 ia menerbitkan buku dengan judul Traite de dynamique yang uraiannya berdasar prinsip-prinsip kinetika. Pada tahun 1744, ia gunakan prinsip untuk risalat mengenai keseimbangan dan gerak cairan. Pada tahun 1746, ia gunakan prinsip yang menyebabkan terjadinya angin. Tahun 1747, ia menulis tentang tali yang bergetar, ia menjadi pelopor dalam persamaan diferensial. Pada tahun 1754, ia menguraikan teori tentang limit. Tahun 1754, ia terpilih menjadi sekretaris tetap di akademi prancis. Pada akhir hayat nyaia bekerja pada Encyclopedie prancis.

          8.      Johann Heinrich Lambert (1728-1777)

            Pada tahun 1966 ia menulis hasil penyelidikannya mengenai postulat paralel yang berjudul Die Theorie der Parallellinier. Lambert juga menulis teori tentang fungsi-fungsi hiperbolik dan memberi notasi pada fungsi itu, menyusun ilmu ukur lukis, menentukan orbit dari komet, teori proyeksi membuat peta dan juga menyusun logika yang disusun oleh Leibniz.

          9.      Joseph Louis Lagragne (1736-1813)

            Pada tahun 1766, ia menjadi ketua Akademi Prusia dan 20 tahun kemudian menjadi guru besar pada Ecole Normale (Ecole Polytechnique). Pada tahun 1797, ia menulis judul Theorie Des Fanction Analytiques Contenant Les Principles Du Calcul Differential. Konsep pokok dalam buku itu ialah menyajika suatu fungsi f(x) dalam deret Taylor. Derivatif f’(x), f’’(x), … menjadi koefisien dari h,  pada ekspansi f(x+h).

            Lambang f’(x), f’’(x), … diberikan oleh Lagragne. Ia menulis teori fungsi variabel real, metode penyelesaian persamaan-persamaan yang disebut metode Lagragne. Karya besarnya juga dalam mekanika analitik dan di dalam system dinamika yang dikenal Persamaan Lagragne. Dalam persamaan differensial ia mengembangkan teori-teori persamaan.

          

         10.  Gaspard Monge (1746-1818)

            Pada tahun 1794 menjadi guru besar matematika pada Ecole Polyteknique. Ia tercatatat khusus dalam ilmu ukur lukis, yaitu memproyeksikan benda-benda ruang ke bidang datar. Karyanya dengan judul Aplication De l’ Analyse diterbitkan dalam lima jilid, dan salah satu dari jilid itu adalah geometri differensial. Ia ahli matematika terakhir yang disebut pada abad ke-18.

2.1.3.  Lahirnya Geometri-geometri Baru.

      Ada 9 orang ahli geometri baru abad 19, yaitu :

1.      Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793-1856)

Lobachevsky ingin mengganti postulat kelima dari Euclides menjadi: ”Melalui suatu titik di luar suatu garis dapat ditarik paling sedikit dua garis sejajar dengan garis yang ditentukan”. Akan tetapi harapan untuk mengganti postulat Euclides tidak dapat dibuktikan bahkan pengembangan sistem postulat itu menghasilkan suatu geometri baru non Euclides yang dikenal sekarang Geometri Lobachevsky

2.      Jamos Bolyai (1802-1860)

Boylai menciptakan sistem geometri yaitu melalui suatu titik di luar suatu garis dapat dibuat sedikitnya satu garis lurus sejajar dengan garis tersebut yang dikenal dengan sistem geometri Mutlak Bolyai.

3.      Poncelet (1788-1867)

Poncelet menaruh perhatian khusus pada geometri proyektif. Pengertian polar dan garis polar diuraikan dengan cermat atas prinsip dulitas. Pemikiran Poncelet mendorong geomteri proyektif berkembang lebih pesat.

4.      Jacob Steiner (1796-1867)

Pengembangan pemikiran poncelet menghasilkan geometri sintetis dan Steiner salah seorang dari ahli geometri sintetis terkemuka.

5.      Karl George von Staudt

Ia menciptakan geometri proyektif dari unsure metrik dalam bukunya Geometri der Lage yang terbit pada tahun 1847.

6.      Augustus Ferdinad Mobius (1790-1868)

Pengembangan geometrinya secara analitik.

7.      Michel Chasles (1793-1860)

Ia seorang ahli geometri sintetis terkenal, karyanya menjadi suatu ukuran terhadap geometri itu.

8.      Felix Kleim (1849-1929)

Pada tahun 1972, dalam program Erlanger ia mendefinisikan geometri sebagai teori invarian dari grup transformasi dan dalam geometri proyektif disusun sejumlah postulat yang disebut geometri terbatas.

9.      Maurice Frechet

Pada tahun 1906, ia menciptakan suatu geometri yang memandanag ruang sebagai himpunan obyek-obyek yang disebut titik, bersama himpunan-himpunan dengan himpunan relasi-relasi antara obyek-obyek itu. Ruang itu disebut ruang abstrak. Himpunan relasinya disebut struktur dari ruang.

10.  Lahirnya struktur aljabar baru

Sebelum abad 19, aljabar dipandang sebagai generalisasi dari aritmetika, struktur aljabar sama dengan struktur aritmetika. Beberapa ahli meneliti sifat-sifat asosiatif, komutatif dan distributif dalam aljabar. Timbul pemikiran apakah ada sistem aljabar yang konsisten tetapi tidak memenuhi sifat itu.

-          William Rowan Hamilton (1805-1865)

            Ia seorang ahli aljabar dari Irlandia, ia menemukan aljabar quaternion. Dalam system aljabar itu tidak berlaku sifat komutatif.

-          Herman Grassmann (1809-1877)

               Ia seorang ahli matematika Jerman, menerbitkan karyanya dengan judul Ausdehnungslehre, mengembangkan suatu sistem aljabar yang strukturnya berbeda dari struktur aritmetika.

-          Arthur Cayley (1821-1895)

               Ia seorang ahli matematika Inggris, menciptakan aljabar matriks, suatu struktur aljabar yang tidak komutatif. Dengan berkembangnya struktur baru maka aljabar melahirkan aljabar abstrak baru, seperti aljabar grup, ring, aljabar Boole ruang vektor, aljabar Jordan, aljabar Lie dan lain-lain.

2.1.4.  Analisa Secara Aritmatika

Agust Louis Cauchy (1789-1857)

            Pada tahun 1797, Lagragne sudah menyusun landasan analisa dengan kokoh. Pada tahun 1821, Cauchy menggunakan teori limit untuk menentukan convergensi, kontinuitas, dapat didiferensialkan, integral.

Pada tahun1874, pamahaman yang semakin mendalam tentang landasan analisa diberikan oleh Weierstrass dalam penerbitan karya-karyanya mengenai fungsi-fungsi kontinu yang tidak mempunyai derivatif atau mengenai fungsi-fungsi yang tidak mempunyai tangent pada titik-titiknya. Bahkan Rieman memperkenalkan fungsi yang kontinu untuk semua peubah dengan nilai irrasional tetapi tidak kontinu pada nilai rasional. Teori Cauchy tidak mempunyai cukup landasan untuk menjelaskan hal itu. Berarti teori limit, kontinuitas dan dapat dideferensialkan masih tergantung dari sifat-sifat sistem bilangan riel yang sukar dan perlu diteliti lebih mendalam.

Akhir abad 19 Richard Dedekind (1831-1916)

            Cantor (1845-1918), Peano (1858-1932) menyederhanakan lagi landasan analisa itu, diusut dari sistem bilangan asli. Kemudian menyusun lagi landasan matematika berasal dari sistem bilangan asli. Awal abad XX terbukti bahwa sistem bilangan riel disusun berdasarkan konsep teori himpunan yang menimbulakan pandangan baru, bahwa matematika dapat disusun berlandaskan konsep teori himpunan.

            Karya Cauchy yang dikaitkan dengan namanya ialah uji akar dari Cauchy, uji pebandingan untuk menguji Convergensi atau divergensi deret. Dalam Teori fungsi kompleks, ketidak-samaan Cauchy, rumus integral Cauchy, dan dasar persamaan diferensial Cauchy-Rieman.

2.2.  MATEMATIKA ABAD 19

2.2.1. Pengantar

Teori himpunan yang ditemukan oleh Cantor dipakai sebagai landasan sistem bilangan asli bidang-bidang matematika lain. Dengan cepat teori himpunan mempengaruhi pemikiran ahli geometri, lahirlah ruang abstrak, teori umum tentang dimensi, teori ukuran ( meausure ), topologi serta perubahan pandangan atas geometri purbakala yang mengatakan hanya ada satu ruang dan satu geometri.

Sehingga relasi dasar geometri adalah kongruensi, atau relasi dapat ditindihkan. Setelah terciptra  geometri analitik dan geometri non Euelides, dapatlah diterima geometri lebih dari satu. Selanjutnya terjadi penggabungan beberapa matematika tradisional, dan melahirkan komponen-komponen matematika baru. Terdapat analisis, seperti limit, fungsi, kontinuitas derivatif, integral dijabarkan teori himpunan.

2.2.2.  Pemikir-pemikir Matematika Abad 19

1.      Joseph Fourier

Sebelumnya pengertian fungsi berasal dari Leibniz yang berarti ekuivalen,  suatu pengertian yang menghubungkan kordinat titik dengan kurva. Johann Bernoulli memandang fungsi sebagai pernyataan yang mengkaitkan perubah dan konstanta. Euler memandang fungsi sebagai rumus yang menghubungkan perubah dan konstanta.

Setelah Fourier meneliti aliran panas dengan menggunakan deret trigonometri maka pandangan atas konsep fungsi tadi berkembang dan memberi hubungan yang lebih umum atas perubah-perubah. Selanjutnya, defenisi fungsi yang lebih luas dan meliputi hubungan-hubungan diberikan oleh Dirichlet.

2.      Lejeune Dirichlet ( 1805-1859 )

Konsep fungsi yang diberikan oleh dirichlet adalah sebagai berikut : suatu perubahan ialah suatu lambang yang mewakili sesuatu anggota dari himpunan bilangan. Jika dua perubah x dan y dihubungkan dan bila kepada x diberikan suatu nilai, maka dengan sendirinya berpasangan suatu nilai kepada y, maka y adalah suatu fungsi dari x.

Perubahan x disebut perubahan bebas, dan perubahan y disebut perubahan terikat kepada x. Nilai-nilai dari x yang diberikan itu membentuk suatu domain dan fungsi itu, dan nilai-nilai dari y membentuk suati daerah hasil dari fungsi itu. Pengertian fungsi itulah menjadi pengertian dasar hubungan antara dua himpunan yang mencangkup hubungan antara dua himpunan unsur apa saja. Maka didalam teori himpunan, fungsi f ditentukan sebagai pasangan terurut dari dua unsur sehingga jika ( a₁ , b₁ ) f, ( a₁ , b₁ ) f dan a₁ = a₂ maka b₁ = b₂.

Himpunan A dari semua unsur pertama dari pasangan terurut itu disebut domain dari f, dan himpunan B dari semua unsur kedua pasangan berurutan itu disebut daerah hasil ( range ) dari fungsi itu. Dengan demikian hubungan dengan fungsi tidak lain dari himpunan bagian dari perkalian kartesian A X B.

Korespondensi satu-satu adalah keadaan khusus dari fungsi, yaitu suatu fungsi f sehingga jika ( a₁ , b₁ ) f, ( a₂ , b₂ ) f dan b₁ = b₂, maka a₁ = a₂. Hubungan fungsi  f, ( a,b ) f ditulis b = f(a).

3.      Piere simon laplace ( 1749-1827 )

Ia anak seorang petani miskin di Prancis. Karyanya terpenting mengenai mekanika yang berhubungan dengan ruang angkasa dan teori kemungkinan persamaan diferensial. Selama tahun 1799-1825, ia menulis karya besarnya dengan judul Traite mencanique celeste dan diberi gelar Newton dari Perancis.

Pada tahun 1812 terbit karya besar keduanya dengan judul Theorie analitique des probabilites. Laplace dihubungkan dengan hipotesa perbintangan dalam ilmu falak, dan dalam teori potential dengan persamaan Laplace. Dalam kalkulus ada transformasi Laplace, dalam determinan ekspansi Laplace.

4.      Andrien Maria Legendre ( 1752-1833 )

Ia terkenal dalam matematika elementer dengan bukunya Elements de geometrie yang menjelaskan secara didaktik perbaikan pengajaran geometri Euclides dengan menyederhanakan dalil-dalil geometri itu. Karya lainnya ialah mengenai teori blangan, fungsi elliptik, metode kuadrat terkecil, tentang integral dan ia juga menyusun tabel matematika.

Penemuan lain adalah polinomian legendre. Lambang (c , p) sama dengan  ± 1 disebut lambang legendre. Lambang itu dipakai dalam aritmetika moduler.

Contoh: x² ≡ 6 (mod 19) mempunyai penyelesaian yaitu (6│19) =1, tetapi x²  ≡ 39 (mod 47) tidak mempunyai penyelesaian sebab (39│47) = -1 tidak mempunyai penyelesaian.

5.      Karl Fredrich Gauss ( 1777-1855 )

Ia dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad 19 setaraf dengan Archimedes dan Newton. Sumbangan pemikirannya pada geometri, mengenai segi banyak beraturan, bahwa segi banyak beraturan yang banyak sisinya prim tidak dapat dilukis kecuali jika f(n)=2²ⁿ +1 , Selanjutnya ia membuktikan, bahwa persamaan polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, paling sedikit mempunyai satu akar kompleks.

Karya termashurnya adalah Disquisitiones aritmaticae tentang teori modren dari bilangan, tentang lukisan segi banyak beraturan. Mengenai berkebalikan kuadratik ia menulis dengan lambang legendre.

Gauss membuktikan lambang legendre teorema tertulis jika p=2P +1 dan q=Q + 1 adalah 2 bilangan prim berlainan, maka ( p│ q ) (q │p ) = (-1)^PQ

Karena p =2P +1, maka P =  ( p-1 )

q= 2Q +1, maka Q = ( q-1 )

Maka cara lain untukmenulis hukum kuadratik berkebalikan (quadratic recit rocity law) adalah :

(p│q) (q│p) = (-1)^{1/2(p-1). 1/2(q-1)}

Jadi      ( p│ q ) (q │p ) = 1, jika p adalah residu kuadratik modulo p.

(p│q) (q│p) = (-1), jika p bukan residu kuadrat modulo p.

Jadi, cukup diperhatikan apakah ½ ( p-1) + ½ (q-1) ganjil atau genap.

Karya lainnya disumbangkan pada astronomi, geodesi, listrik geometri diferensial, metode kuadrat terkecil, hipergeometri, dan penyelidikan tentang konvergensi deret. Ucapannya yang terkenal mengenai matematika yaitu matematika adalah ratu dari ilmu dan teori bilangan ratu dari matematika.

6.      Karl Weierstrass (1815 – 1897)

Ia diangkat menjadi guru besar di universitas itu pada tahun 1864. Ia menulis sejumlah makalah tentang integral hiperelliptik, fungsi Abeliun dan persamaan diferensial. Sumbangan pikirannya paling luas adalah landasan teori fungsi kompleks pada deret pangkat yang merupakan kelanjutan dari pemikiran yang dicoba Lagragne di bidang kompleks. Ia menaruh perhatian khusus pada fungsi-fungsi bulat dan fungsi dengan perkalian tak berhingga. Ia menemukan konvergensi uniform.

Weierstrass adalah seorang guru yang berpengalaman dengan persiapan kuliah yang sangat cermat dan penalaran yang luar biasa cermatnya. Sehingga ia disebut bapak dari analisa modern.

7.      George Bernhard Riemann ( 1826-1866)

            Pada tahun 1851, desertasinya untuk memperoleh gelar doctor memperkenalkan konsep bidang Riemann. Ia memperkenalkan topologi ke dalam analisa. Ia memberikan defenisi tentang apa yang dapat diintegralkan yang dikenal integral Riemann, dan abad 20 dikenal dengan Integral Lebesque. Kuliah percobaannya yg terkenal pada tahun 1854 tentang hipotesa yang meletakkan landasan geometri sebagai generalisasi pemikiran tentang ruang abstrak.

8.      George Cantor (1845-1918)

            Ia lahir di St. Petersburg, mengikuti kuliah di universitas Berlin pada tahun 1863-1869. Waktu itu universitas berlin dipengaruhi kemashuran Weierstarss. Ia member kuliah di universitas Halle pada tahun 1869-1905. Perhatiaanya pertama pada teori bilangan, persamaan-persamaan yg tidak dapat diselesaikan, deret-deret trigonometri. Teori tentang deret trigonometri yang sukar membawa pemikirannya pada landasan analisa. Ia menuliskan laporan pada bilangan rasional yang mengunakan barisan konvergen dari barisan bilangan rasional berbeda dari yang diberikan secara geometri oleh Dedekind.

            Pada tahun 1874 karyanya tentang teori himpunan dan teori tak berhingga membuat revolusi dalam matematika, dengan karyanya itu ia menciptakan penelitian matematika yang seluruhnya baru. Ia mengembangkan teori tentang bilangan transfinite yang berlandaskan pada sifat tak berhingga. Ia menciptakan aritmetika transfinite seperti pada aritmetika bilangan terbatas. Ia lanjutkan paradoks dari zeno. Teori cantor tentang teori himounan banyak masuk ke dalam cabang – cabang matematika sekarang ini, terutama pada landasan topologi dan landasan fungsi riel. Pertentangan antara aliran formalis dari Hilbert dengan aliran Intusionis dari Brower adalah kelanjutan dari pertentangan Cantor dengan pandangan Kroneckher.

2.3.  MATEMATIKA ABAD 20

2.3.1. Pengantar

Setelah terciptakan teori himpunan pertama untuk system bilangan asli kemudian teori himpunan tersebut masuk ke berbagai cabang matematika.

Pada tahun 1854 terbit penyelidikan hukum-hukum berpikir dari Boole dengan judul Investigations of the laws of thought. Pada tahun 1874,terbit Formal Logic dari Augustus de Morgan dan Boole menyusun tabel matematika.

Charles Sanders Pierce(1839-1914), pada tahun 1881 menerbitkan judul The Ground Logic berisikan symbolic logic atau teori logika dengan menggunakan lambang-lambang. Boole menyusun tabel kebenaran pada pengerjaan logika.teori himpunan dan logika itupun kemudian masuk ke dalam cabang-cabang matematika yang disebut matematika modern sekarang.

 

2.3.2. Lahirnya mazhab matematika

1.      Alfred North Whitehead (1861-1947) dan Bertrand Arthur William Russel (1872-1970)

Kedua ahli logika itu menerbitkan Principia Mathematica yang berisi aljabar proposisi dan teori himpunan yang menjadi landasan umum dari matematika abad 20. Mazhab atau aliran dari Russel dan Whitehead itu menyatakan bahwa semua matematika dapat dipandang sebagai jenis logika yang disebut mazhab logistic.

2. Darvid Hilbert (1862-1943)

Hilbert mereduksi matematika dengan menggunakan lambang seperti permainan catur dengan aturan aturan sederhana yang di tafsirkan ke dalam bentuk matematika yang lain dan disebut mazhab Formalis.

3.  L.E. J Brower

Ia menganggap logika merupakan bidang studi didalam matematika. Maka lebih diutamakan adalah matematika itu dari logika. Sehingga L.E.J Brower dipandang mewakili majhab intuisi. Aliran intuisi berpendapat tidak mungkin terdapat suatu peneliti matematika yang tak dapat dijelaskan.

4.   Rudolf Carnap

Pada tahun 1920 Carnap mengembangkan formalisme kedalam analisa bahasa. Maka pertentangan antara kaum formalis dengan kaum intusi semakin tajam.

 5. Kurt Godel

Pada tahun 1931 pertentangan antara kaum formalis dengan kaum intuisi itu mereda setelah Godel memberi pemecahannya. Ia menemukan bahwa, tidak mungkin membuktikan konsistensi dari suatu sistem logika dengan metoda-metoda itu sendiri.

 6.   Bourbaki

Semula Bourbaki dengan kelompoknya hendak menyusun baik pelajaran tentang analisa dengan pandangan baru yang berlaku. Mereka lebih dahulu menyusun basisnya dengan logika matematika dengan metoda-metoda formilnya. Dan dengan teori himpunan. Mereka membagi matematika berdasarkan struktur-struktur yang berlaku umum. Metoda aksiomatis memang dipelopori oleh Hilbert, Naether, dan Artir. Bourbaki membuat pengertian struktur menjadi dasar susunan matematika yang bermacam-macam itu. Maka terdapat 3 struktur yaitu :

 a.  Struktur urutan.

Di dalam suatu himpunan V, didefinisikan relasi R. relasi biner antara anggota V ditulis x Ry     x = y jika x Ry atau y Rx dan jika x,y,z € V. jika x Ry dan Rz maka y Rz.

       b. Struktur aljabar

Di dlam himpunan V didefinisikan komposisi, atau beberapa komposisi dan hubungan komposisi itu ditentukan dengan syarat-syarat. Misalnya perkalian vector.

       c. Struktur topologis

Struktur ini adlah perumusan abstrak tentang gambar-gambar intuitif tantang pengertian seperti, batas-batas, kontinuitas dan sebagainya.

d. Struktur jamak

Dalam struktur majemuk ini dapat di tempuh teori matematika klasik, system bilangan ilmu ukur Euclides yang masing-masing terdapat dalam struktur induknya. Namun diragukan apakah kelompok bourbaki ini dapat mengklasifikasinya semua cabang matematika dalam pembagian strukturnya.

BAB III

KESIMPULAN

Perkembangan matematika abad 17 sampai abad 20 memberikan pandangan dan landasan kokoh untuk mempengaruhi logika serta intuisi matematika ke  abad selanjutnya, perkembangan cabang matematika secara khusus di kelola menjadi ilmu matematika.

Teori himpunan sebagai landasan  bilangan asli berkembang  sebagai landasan bidang- bidang matematika lain. Teori himpunan mempengaruhi pemikiran ahli goemetri sehingga lahirlah ruang abstrak,teori umum tentang dimensi, teori ukuran (measure).

Terhadap analisa seperti limit, fungsi, kontinuitas derivative integral dijabarkan berdasarkan teori himpunan. Fungsi yang berarti ekuivalen menghubu-ngkan koordinat titik dengan kurva. Deret Fourier member hubungan yang lebih umum atas perubah-perubah sehingga defenisi fungsi lebih luas meliputi hubungan-hubungan yang diberikan oleh Richlet.

Pada tahun 1874 karya George Cantor tentang teori himpunan dan teori tak berhingga membuat revolusi dalam matematika. Ia mengembangkan teori tentang bilangan transfinit yang berlandasan pada sifat tak berhingga dan menciptakan aritmatika bilangan transfinite seperti pada aritmatika bilangan terbatas.

Teori himpunan pertama awal abad 20 digunakan untuk sistem bilangan asli, kemudian teori himpunan tersebut memasuki berbagai cabang matematika. Pengembangan matematika dimulai dengan menggunakan lambang-lambang. Teori himpunan dan logika tersebut kemudian masuk ke dalam cabang-cabang matematika yaitu matematika modern sekarang.

Principia matematika menjadi landasan umum matematika abad-20 mazhab yang disebut mazhab logistik. Bourbaki dan kelompoknya menyusun buku dengan mendobrak pandangan matematika yang terdiri dari:Teori bilangan,Aljabar dan Geometri .matematika dibagi berdasarkan sruktur-struktur yang berlaku umum dan menyelidiki hubungan dan teori matematika yang berbeda.

 

DAFTAR PUSTAKA

http://ringkasanmatematika.blogspot.com/2011/01/lahirnya-pengkhususan-matematika.html

http://akuyudhipblg.blogspot.com/2012/03/mempelajari-matematika-melalui-beberapa.html

Sitorus, J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah.Bandung:TARSITO